Случайные процессы при описании популяций
Рассматриваемые выше модели – детерминистские. Это должно иметь какие-то основания, которые мы и попытаемся сейчас обсудить.
Если речь идет о динамике популяций, то можно выделить по крайней мере два аспекта, по которым детерминистская модель не может служить точным отражением реальной экологической системы: во-первых, она допускает бесконечно большую численность популяции; во-вторых, не учитывает случайных колебаний, происходящих в среде во времени.
В качестве примера детерминистской экологической модели рассмотрим уравнение
где N – число особей в момент времени t,
а –
истинная скорость роста.
Решением этого уравнения, удовлетворяющим начальному условию
N(0)=No, (10.2)
является функция
N(t)=N0eat, (10.3)
(так называемый закон Мальтуса – закон роста популяции без конкуренции). В основе главного допущения здесь лежит то, что за короткий промежуток времени t
каждая особь порождает a?t новых особей.
В соответствующей стохастической модели принимается более правдоподобное допущение, согласно которому за период ?t одна особь с вероятностью ? производит одного потомка и с вероятностью ??t умирает. Обозначим через рi(t) вероятность того, что в момент времени t численность популяции равна i, i = 0, 1, 2, ... Рассмотрим величину pi(t + ?t). В силу малости ?t можно считать, что численность популяции останется прежней, равной i, в результате трех независимых событий – появления потомков в популяции с численностью i–1, отсутствия случаев рождения и смерти в популяции с численностью i и смерти в популяции с численностью i+1. При этом вероятность pi(t + ?t) равна сумме вероятностей этих событий:
pi(t + ?t) = (i-1) ? pi-1 (t) ?t+(1-i(?+?)pi(t) ?t+(i+1) ?i+1(t) ?t , откуда
Переходя в полученном соотношении к пределу при t > ?, получим систему уравнений Колмогорова
В виде (10.4) уравнения справедливы при i= 2, 3, 4, .... При i = 1 из (10.4) получаем уравнение
